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数学归纳法的正确性证明

归档日期:06-13       文本归类:正确性证明      文章编辑:爱尚语录

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  2013-11-13展开全部用数学归纳法进行证明的步骤:(1)(归纳奠基)证明当 取第一个值 时命题成立;证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中,考察结论成立的最小正整数就足够了,没有必要再考察几个正整数,即使命题对这几个正整数都成立,也不能保证命题对其他正整数也成立;(2)(归纳递推)假设 时命题成立,证明当 时命题也成立;证明了第二步,就获得了递推的依据,但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起,才能获得普遍性的结论;(3)下结论:命题对从 开始的所有正整数 都成立。注:(1)用数学归纳法进行证明时,“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可;(2)在第二步中,在递推之前, 时结论是否成立是不确定的,因此用假设二字,这一步的实质是证明命题对 的正确性可以传递到 时的情况.有了这一步,联系第一步的结论(命题对 成立),就可以知道命题对 也成立,进而再由第二步可知 即 也成立,…,这样递推下去就可以知道对于所有不小于 的正整数都成立.在这一步中, 时命题成立,可以作为条件加以运用,而 时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明,不能直接将 代入命题.

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